Las tres puertas
Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas se encuentra el coche de tus sueños, y detrás de las otras, mulas. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº2, que contiene una mula. Entonces te pregunta: “¿No prefieres escoger la nº3?”.
¿Qué es mejor para ti?
A. Mantener tu elección inicial (es decir, abrir la nº1)
B. Cambiar tu elección inicial (abrir la nº3)
C. Piensas que ninguna opción es mejor o peor que la otra
Ahora, rápidamente, vayan a los comentarios, y sin leer las respuestas del resto de lectores añadan la suya propia (A, B o C). Si lo desean pueden también explicar el porqué de su elección. Lo prometo: una de las tres es la opción correcta. Yo mañana actualizaré la entrada, desvelando la interesante solución del enigma.
Actualizado: He añadido la solución al problema, no la lean sin antes dar una respuesta.
Solución: El Problema de Monty Hall
Lo expuesto hasta ahora es en realidad el enunciado de un famoso ejercicio de probabilidad conocido como el problema de Monty Hall. Dicho dilema está inspirado por un concurso televisivo estadounidense, y su nombre proviene del nombre del presentador, Monty Hall.
En un primer instante la lógica nos invita a pensar que la opción correcta es la C, es decir, cambiar o no cambiar da igual, pues quedando sólo 2 cajas, una buena y otra mala, las probabilidades de que el premio esté en una u otra es del 50%. Pero ese razonamiento es incorrecto. Para no aburriros con una demostración pesada o difícil de entender lo haremos mirando todas las posibles combinaciones de las puertas:
Asumamos que eliges la puerta 1. En un principio tienes 1/3 de probabilidades de acertar. Pero (y esta es la clave) el presentador sabe que hay detrás de cada puerta.
En el caso A y B, el presentador te abrirá las puertas 2 y 3 respectivamente (lo que hace que sólo quede una puerta con mula)… si se fijan en esos dos casos lo acertado para conseguir el coche es cambiar de puerta. Sólo en el caso C no te conviene cambiar. Por lo tanto de las tres combinaciones posibles… en dos es bueno cambiar (2/3), y sólo en una (1/3) es malo. ¿Sorprendido verdad? Tus posibilidades de ganar aumentan del 33% al 66% si cambias de puerta después de que te muestren una incorrecta.
Si aún no les queda claro pueden leer la entrada que la Wikipedia dedica a este problema. O si lo prefieren pueden jugar con este simulador que he preparado. Observarán que a medida que completan partidas el casillero que indica “Victorias siempre cambiando” tenderá al 66%, y el de “Victorias nunca cambiando” al 33%. Si desean ahorrarse el esfuerzo y directamente ver el resultado tras X partidas lo pueden hacer aquí.
Esta entrada fue escrita el 14 de Enero de 2006 a las 04:12 y está archivada en las categorías Curiosidades, Juegos. Puedes seguir las respuestas a esta entrada por RSS. También puedes dejar un comentario, o hacer TrackBack desde tu propio blog.
254 Respuestas a 'Las tres puertas'
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El 14 de Enero de 2006 a las 05:17 #
Elijo la B.
Razonamiento:
En un programa de paramount comedy le hicieron una entrevista a una presentadora conocida que hablo de los entresijos de los programas y concursos. Dijo que si al presentador le caes bien (o desde produccion quieren que gane el premio) suele darte la opcion de cambiar de idea si el premie esta en otro lado.
El 14 de Enero de 2006 a las 05:24 #
C - No puedo pagar el seguro del coche de mis sueños… una mula… pssh no me hace gracia. Sorpresa! la C.
El 14 de Enero de 2006 a las 12:40 #
Cada día me sorprendes más…
El 14 de Enero de 2006 a las 13:40 #
Felicidades Javi, muy buena y didáctica la explicación y la funcionalidad que has puesto para probarla.
El 14 de Enero de 2006 a las 14:36 #
Y yo que pensaba que no era un tema de porcentajes y demas…
Ahi que ver que incauto soy a veces xD
El 14 de Enero de 2006 a las 15:35 #
Buah, al final has caido en la falacia, pero ya que estamos, si tanto crees que lo correcto es cambiar de puerta, te invito a apostar lo siguiente:
-Me pagas 3.000 euros.
-Lanzas una moneda X veces mientras salga cara. Entonces te daré 2 euros, 4, 8, 16, 32, 64,… hasta que salga cruz.
Es la paradoja de Petersburgo, y según las matemáticas te saldría rentable (calcula la esperanza). ¿Donde está el truco? Pues que es una falacia como la de las puertas.
El 14 de Enero de 2006 a las 15:39 #
Kaih, dices que lo de las puertas es una falacia pero ¿en qué quedamos? ¿Es matematicamente mejor cambiar de puerta? Es que a mí, visto lo enunciado, me parece que sí.
El 14 de Enero de 2006 a las 15:43 #
kaih… tu si que eres una falacia ! xD
si no te lo crees juega en el simulador… ya verás como es cierto.
El 14 de Enero de 2006 a las 16:38 #
Espero que esto aclare un poco las cosas:
Al empezar a jugar, cada puerta tiene 1/3 de probabilidad. La que elijas tendrá 1/3 de probabilidad y las otras dos: 2*1/3 = 2/3. El presentador al eliminar una de esas dos puertas que no elegistes, deja recaer los 2/3 sobre la puerta restante de estas dos últimas. Ahora la puerta que elegistes al principio tiene 1/3 de probabilidad y la otra que te ofrece 2/3.
El 14 de Enero de 2006 a las 16:43 #
Emmm….
Aquí falla algo:
Intento:6 Intentos completados:6
Ganados sin cambiar:4 Ganados al cambiar:1
Perdidos al cambiar:1 Perdidos sin cambiar:0
Victorias nunca cambiando:5 Victorias siempre cambiando:1
Porcentaje:83.33% Porcentaje:16.67%
O tengo mucha suerte, o es que se necesitan muchos más intentos :S
El 14 de Enero de 2006 a las 16:50 #
Ganééééé!!!
El 14 de Enero de 2006 a las 17:01 #
hed… 6 intentos es poquísimo…
con 50 ya suele estar bien…
y con 100 sería extraordinariamente raro que no salieran valores parecidos a los que digo
El 14 de Enero de 2006 a las 17:55 #
Javi, ¿cuál es la probabilidad de que un concurso te elija para participar 100 veces en el mismo?. Con un solo intento de nada sirve el planteamiento probabilísitico. He mantenido A y tras mi primer y único intento he ganado el vehículo.
El 14 de Enero de 2006 a las 18:02 #
Estos de ciencias sois la leche… vaya currada lo del simulador. Luego no me extraña que este blog vaya cogiendo tanta fama ;)
El 14 de Enero de 2006 a las 18:16 #
salitre… la pregunta que yo planteaba era:
“¿Qué es mejor para ti?”
Es mejor cambiar de caja… SIN DUDA. Probabilistamente tienes el doble de posibilidades de ganar que si te quedas con la misma caja.
Pero claro… mientras el porcentaje no sea del 100% siempre habrá riesgo de perder !
en este caso cambiando tienes un 66% de ganar ! y eso es mucho mejor que un 33% !
El 14 de Enero de 2006 a las 18:33 #
la A
El 14 de Enero de 2006 a las 18:40 #
Desde una perspectiva probabilística claro que eligiría el cambio. El problema, sin embargo, lo puedes plantear con otras herramientas, por ejemplo desde la teoría de la decisión. En la práctica cada individuo podría ponderar la probabilidad estadística en términos de las ganancias/pérdidas de utilidad que le supondría cambiar de opinión y perder. Todavía recuerdo la frustración que me produjo cambiar una respuesta a último momento en el examen de conducir y suspenderlo (la pregunta trataba sobre la aplicación del boca naríz en los bebes).
En cualquier caso el problema me ha resultado muy entretenido. Felicitarte por tu excelente blog, ya es el primero por el que paso cada día. Saludos.
El 14 de Enero de 2006 a las 18:54 #
ei,, El link de la wikipedia que enlaza a esta pagina no funciona
by
El 14 de Enero de 2006 a las 19:49 #
Javi eres un monstruo. Una explicación sencilla y escueta y no como otras que he visto por ahí. No me pierdo tu blog ni un sólo día, ya te tengo en favoritos, jeje
El 15 de Enero de 2006 a las 02:17 #
Salitre, precisamente la paradoja que he citado antes va por ahí, sobre la función de utilidad.
El 15 de Enero de 2006 a las 02:18 #
y solo con este post has matado a 170 gatitos? de donde los sacas??
xDDD
El 15 de Enero de 2006 a las 02:25 #
Todos esos gatitos están detrás de sus correspondientes puertas; detrás de otra está Javi Moya, siendo el premio un polvo con él. Tú eliges una con la intención de hayar a Javi Moya. El presentador del programa, un servidor, te abre todas las puertas menos una y en cada una de ellas hay un gatito muerto, y te deja quedarte con la elección inicial o cambiar de puerta, ¿qué harías?
El 15 de Enero de 2006 a las 05:30 #
yo me quedaría con la puerta que escogí, ya que si cambiase tendría más oportunidades de encontrar a Javi, y la verdad, que no me apetece echar un polvo con él… es que me duele la cabeza…
pues eso, que cambiando tienes más oportunidades de encontrarlo, y como en este caso no quiero, pos no cambio. Si hubiese un coche o un piso (dnd yo elija, no en Torrevieja ni en Marina D’or) pues cambiaría sin dudarlo
El 15 de Enero de 2006 a las 12:09 #
Jajajaja pues sí que es bueno XD
El 15 de Enero de 2006 a las 12:35 #
Joder macho, entre los “Sudokus” y esto, la peña debe estar echando humo a patadas xDDD
No en serio, esta bien esto de que nos hagas pensar :D
El 15 de Enero de 2006 a las 13:31 #
Manolo: Pues no le contradigas mucho al director general de tu empresa y menos por una tonterías así xDDDD
El 15 de Enero de 2006 a las 14:08 #
[…] No es un video-juego, pero sí que es un juego, y os puede interesar. Lo fusilo directamente del interesantísimo blog de Javi Moya. […]
El 15 de Enero de 2006 a las 14:54 #
Probando !!! Probando!!! A ver si me deja comentar ahora!!
El 15 de Enero de 2006 a las 14:57 #
Maite, parece que no, no llega nada. Jejeje.
El 15 de Enero de 2006 a las 15:15 #
A
El 15 de Enero de 2006 a las 19:33 #
Dije una por decir y resultó que era, pero ni idea :p Muy interesante esto… si alguna vez voy a algún concurso lo tendré en cuenta ..!
Otra cosita… Cuando vas a responder a la segunda tanda de preguntas y respuestas?
El 15 de Enero de 2006 a las 20:11 #
MaRy, aún no ha contestado a la mayoría de la primera ronda como para contestar a las de la segunda… Le vas a sacar los colores al amigo Javi. Y por ahí anda también la publicación de la recopilación de mejores imágenes… ¡¡¡Exijo la hoja de reclamaciones!!! Javi contestará: tienes la hoja de reclamaciones pulsando a la “X” que tienes arriba a la derecha, jejeje.
El 15 de Enero de 2006 a las 23:29 #
Sois unos autenticso frikis. Enhorabuena!!!
El 16 de Enero de 2006 a las 10:22 #
Yo digo la A. Hay dos tipos de concursos, el tipico que regalan una chorrada y que el presentador está dando pistas continuamente para que aciertes … y el del ejemplo que voy a suponer que es de los que el presentador desea que falles porque es su trabajo. El hecho de que abra la dos es como la zanahoria y el palo, por un lado te lo esta poniendo mas facil y por otro te esta acojonando con lo que puede pasar si fallas. Si no quisiese que cambiases tu opción inicial no haría nada de eso, ya que la gente suele evitar cambiar su opción inicial. Algo tan drástico como abrir la B solo puede ser porque está intentando que cambies la A por la C. Por eso me quedaría yo con la A.
El 16 de Enero de 2006 a las 17:39 #
Felicidades, un enigma muy muy interesante y muy bien explicado en el blog. Enhorabuena por permitirnos hacer los experimentos para terminar de creérnoslo.
Un saludo
El 16 de Enero de 2006 a las 20:13 #
Esto más que los comentarios de un artículo parece un chat…por dios! Lehendakari, es que Javi no se preocupa por nosotros y no se entretiene en responder dos o tres preguntillas!! pero si tiene tiempo de escribir unas entradas rarísimas.. el pueblo pide justicia! dónde está la hoja de reclamaciones?
El 16 de Enero de 2006 a las 23:14 #
Efectivamente MaRy, el Sr. Javi Moya ha incumplido sus promesas, traicionado nuestra confianza y, en definitiva, nos ha decepcionado profundamente. Abandonemos todos en masa su blog (y vayamos al mío, jejeje).
El 16 de Enero de 2006 a las 23:27 #
Vamos a ver.
En la primera elección tienes un tercio de acertar.
En la segunda, es un problema completamente nuevo en el que no influye para nada loa historia previa (salvo que el presentador abra la puerta del coche, ), la probabilidad de que el coche esté en la otra puerta es un medio, y punto. Lo demás es liar.
O también lo puedes plantear como una probabilidad condicionada, la probabilidad encontrar el coche condicionado a que el presentador se queda con la mula. En fin lo mismo, un medio(un tercio dividido por dos tercios).
El 19 de Enero de 2006 a las 23:13 #
eligo la respuesta A
El 19 de Enero de 2006 a las 23:37 #
Hoy, al ver “Allá tú”, el programa de las cajas de telecinco, me he acordado de este dilema. El concursante ha llegado a las dos últimas cajas y quedaba una de 600.000 euros y otra mala. Según esto, si le dan la opción de cambiarla debía hacerlo, puesto que es como si le hubiesen abierto todas las puertas mostrando mulas…
El 20 de Enero de 2006 a las 02:46 #
pienso que la mayor probalidad de acertar es confiar en si mismo
El 24 de Enero de 2006 a las 04:21 #
El sabado pasado, 21 de enero, hubo un examen de Radiofisico hospitalario en el que una de las preguntas era esta (planteda sin concurso de television, pero era esto). Cuando un amigo mio que se presento al examen me enseno el cuadernillo gue una de las primeras preguntas que vi, que casualidades que tiene la vida!
El 2 de Febrero de 2006 a las 02:07 #
[…] Cataluña, la historia se repite (405)El boicot a los productos catalanes (301)Canciones que suenan parecidas (I) (243)Los catalanes son un cáncer (213)Adorables (206)Las tres puertas (ACTUALIZADO) (192)Preguntas y Respuestas (164)¿Cuánto podría ganar Microsiervos con publicidad? (147)La Habitación. Todo un reto. (135)Publicidad poco ética (129) […]
El 10 de Marzo de 2006 a las 01:31 #
Yo creo que no ai ke cambiar la respuesta por ke al abrir una de las puertas ai mas posibilidades de ke la ke aya escogido sea la correcta y creo ke ai una posibiladad de un 50%
buenO eso
El 11 de Marzo de 2006 a las 01:35 #
Sigo con mi elección: A
El 11 de Marzo de 2006 a las 01:44 #
No seas cabezota, se demuestra que es mejor cambiar.
El 28 de Marzo de 2006 a las 08:38 #
Pienso que tienen probabilidades iguales. Por ejm:
Puertas: ABC
Realidad: ???
Hago eleccion en mundos posibles segun disposición de problema; hasta ese punto del tiempo donde se acerca de eso; no puedo elegir una puerta arbitraria c, porque el conductor la elegirá (en el futuro):
:
ABC
Mundo1: X??
Mundo2: ?X?
Luego si tomamos ambos como los mundos posibles bajo una restricción del tiempo que es la dimension que estamos, no podriamos elegir c:
De allì es facil ver que ambas, siguiendo el instinto, que supera pienso a las leyes bayesianas (espero a pesar de tratar de ser experto!!) ambas puertas tienen las mismas probabilidades de èxito.
ABC B de mundos: Burro
Mundo1: X?B
Mundo2: ?XB
Luego para ambos mundos posibles (fisicamente) da los mismo cual se haya elegido.
Para ejemplos de n tiende a infinito, que sean n=1000000; el buena gente del conductor abre 999999 puertas, luego al parecer es apabullante que tengamos la probabilidad de que este en el otro lado; es mas la probabilidad de que tengamos que cambiar (usando probabilidades); digamos elijamos n=10 ELEVADO A LA 100. Luego quedan 2 puertas; la supuesta probabilidad de que este en la otra puerta que queda es trillones de trillones de veces que en la original. porque el instinto dice que es falso?. Luego tendriamos que tenemos es imposible que hayamos elegido dado los hechos, la puerta correcta. Si entendemos la pregunta con la esperanza y la asociamos con el concepto de probabilidad quizas estemos incorrectos ( lo cual quizas de luz a otro concepto mas avanzado) quizas no. Luego si apelamos a la definicion original de probabilidad, y tenemos 1,000,000 de arreglos de 10 elevado a la 100 y usamos numeros aleatorios; y que en cada arreglo 10^^100, solo quedamos con 2 cahnces; 1 que es la elejimos desde antes de que se muestren las opciones. Pues pienso lo natural y evidente, haciendo una simple simulacion, es que es absurdamente improbable que en todos los casos hayamos errado en nuestra definición; es decir lo mas probable es que en el infinito tendamos que sea parejo, pero pienso que simulando y salga del 1000000, solo 1 que hayamos acertado, los 999999, nos hayamos equivocado pues es absurdo ¿alguien se anima a hacer ese programa de simulacion?, con lo cual se demuestra que el razonamiento es completo en la parte de probabilidades pero falla en algun aspecto.
En mi caso, pienso que hay una falacia, por no considerar el “razonamiento temporal” algo tipo redes bayesianas temporales, las cuales no son triviales, es decri simplemente el tiempo, y considerar las probabilidades como constantes cuando varian a medida de abrir cada puerta.
En lo practico, seria absurdo usar la estrategia de que en infinitas puertas, bajo las mismas condiciones siempre estes cambiando. Otra vez simulando daria razon al sentido comun. Simplemente al abrir una puerta el conductor es un hecho y afecta las probabilidades, pienso en si, y por lo tanto caso todos uds estan equivocados en la razon mas cercana a a lo absoluto si piensan de esa forma (sin tomar en cta factores de psicologia, leyes de grande numeros, etc).
El 31 de Marzo de 2006 a las 12:51 #
En caso de hacer tender el problema a infinito, como dice el colega anterior, se convierte en un ejemplo mucho más sencillo. En tu primera elección casi seguro que has fallado (de hecho, tu probabilidad de acertar es prácticamente nula). Si te quitan todo opciones malas y dejan una, aprovechas tu casi certeza de haber fallado en tu elección para cambiar tu elección y tener la misma certeza, pero de haber acertado. En el caso de las 3 puertas:
Probabilidad de acertar al principio: 1/3
Te quitan una caja que saben que no es el coche.
Si no cambias, mantienes tu probabilidad de 1/3, puesto que no cambiar no supone nueva elección, sino mantenimiento de tus probabilidades.
Si cambias, inviertes tus altas probabilidades de fallar por altas probabilidades de acertar: 1-1/3= 2/3
No es cuestión de cabezonería. La respuesta correcta es ésta. Todo depende de la primera elección y de que todo lo demás son probabilidades condicionadas a tu elección inicial. Por ello, tu elección de mantener o cambiar la puerta no es del 50%, puesto que está ponderada (probabilidad condicionada, como ya ha referido alguien) por la elección inicial y el descarte de una puerta mala a sabiendas de que lo es.
Saludos!
El 2 de Abril de 2006 a las 10:11 #
si pero cuando elije las puertas a descartar, el sabe que no hay premio allí, por lo que esa probabilidad condicional es aparente. Es fácil demostrarte que estas equivocado, tas bien en probabilidades (lo cual es muy simple) pero es iluso pensar que estas en lo correcto: Mira supongamos que hay 1 millon de puertas; el espectador ya conoce las reglas del juego, y estudio sus probabilidades, y siempre va a hacer el cambio. Por reducción al absurdo; empieza el juego, elije x, el premio está en y; y el animador desecha 999998, el jugador cambia y siempre (casi) ganará. Dime tu crees que si repiten el juego 1 millon de veces, siempre ganará el jugador? Si lo crees, estas muy equivocado.Solo responde a esa pregunta.
Por simple simulación no sucederá. Lo que pasa es que esas puertas que desecha, al tener conocimiento, ya no son condicionadas, son independientes, pues el observador ya sabe que vale 0 la probabilidad, su probabilidad de que este allí la solución es 0; en cambio en las que no deseche la probabilidad es >0. Por lo tanto no hay una razón uniforme en las probabilidades como para aplicar una regla de bayes.
Tu dices que depende de primera elección, es falso, depende de cuanta información tiene del ambiente, la probabilidad de que en el resto sea altisima es cierto; pero cuando abre una puerta, tal probabilidad disminuye. porque? Otracosa piensa que el juego te obliga a cambiar, elijes 1 y en 1millond e puertas, la que queda te hace cambiar; crees qye siempre ganarás? no me digas eso…
Saludos
El 2 de Abril de 2006 a las 13:26 #
A ver, en el caso de 1 millón de puertas es mucho más sencillo. Tu probabilidad de haber fallado la inviertes. Tienes 1 probabilidad entre un millón de haber acertado en tu primera elección. Por otro lado, al quitarte todo cajas malas excepto una, el resultado es equivalente a decirte: “mira, puedes quedarte con tu puerta o con las 999999 restantes, y si el premio está en lo que elegiste (una o todas las demás) te lo llevas”. Y bien, qué es más probable? Elegir una caja o todas menos una? Pues es absolutamente equivalente a este caso.
Es como si tienes una moneda cargada. Puede salir cara o cruz pero la probabilidad no es del 50%, puesto que esas probabilidades están condicionadas a la carga de la moneda.
No dudes en simularlo. Hay numerosos sitios en los que puedes jugar aleatoriamente y decidir cambiar o no, o si sabes programarlo puedes hacerlo tú mismo, es sencillo. Si cambias en todos los casos tus aciertos tenderán a 2 de cada 3. No puedes demostrar que estoy equivocado porque ésta es la solución correcta del problema. Y lo digo sin acritud, que conste. De hecho me gustan este tipo de conversaciones.
El detalle realmente importante es que la eliminación de una puerta mala está condicionado a tu elección. Si pudiese eliminarse cualquiera de las dos puertas malas, incluída la tuya (lo que te elimina automáticamente), sería equiprobable cambiar o no; si pudiera eliminarse cualquiera de las dos puertas no elegidas, incluída la buena (lo que te hacer perder automáticamente), sería equiprobable cambiar o no; si pudiera eliminarse cualquiera de las 3 puertas, incluída la tuya, también sería equiprobable. Pero la particularidad del caso reside precisamente en que la caja buena siempre estará entre las 2 que quedan, y como lo más probable es que en tu elección inicial fallases, tienes que cambiar para que lo más probable sea que te lleves el premio.
O más sencillo todavía, por la cuenta de la vieja. El coche está en la puerta 3.
a) Si eliges la 1, te quitan la 2 y cambiar te da el premio.
b) Si eliges la 2, te quitan la 1 y cambiar te da el premio.
c) Si eliges la 3, te quitan una de las 2 primeras, da igual, y cambiar te hace perder.
Por lo tanto, de las 3 opciones posibles que tienes en tu primera elección, en 2 de ellas el cambio te lleva a ganar el coche.
Si lo quieres en probabilidades de un caso genérico para particularizar posteriormente al nuestro, sean “x”, “y”, “z” las puertas. Cx, Cy, Cz será el hecho de tener el coche en las puertas “x”, “y”, “z” respectivamente. Lx, Ly, Lz serán los casos de que se descarten las puertas “x”, “y”, “z” respectivamente.
Como es aleatorio, partiremos del caso en que elegimos la puerta “x”, siendo equivalente para cualquiera de las otras. En esta situación, la probabilidad de acertar cambiando es igual a la probabilidad de que el coche esté en la puerta “y”, y que se descarte la puerta “z”, más la probabilidad de que esté en la puerta “z” y se descarte la puerta “y”. Es decir:
P(Cy,Lz)+P(Cz,Ly)= P(Cy).P(Lz/Cy) + P(Cz)-P(Ly/Cz)
El caso restante es aquel en el que tienes tú el coche, pero perderías así que no cuenta para la probabilidad de acertar cambiando.
Es evidente que P(Cy)=P(Cz)=1/3
Por otro lado, la probabilidad de que, habiendo elegido “x”, se descarte “z” cuando el coche está en la puerta “y” es 1. Siempre se descartará una puerta que no tiene coche y que no ha sido elegida por ti (por eso tu elección condiciona la eliminación de una puerta y desequilibra la situación). Volviendo a la expresión:
1/3.1 + 1/3.1 = 2/3
No importa el camino seguido para razonarlo, la probabilidad cambiando siempre de puerta es de 2/3.
Para este razonamiento me he basado en el libro “el curioso incidente del perro a medianoche”, que da el enunciado y la solución del problema. Sé que al principio es difícil de asimilar, pero a las pruebas me remito.
De nuevo animo a todos a que jueguen a la simulación del comienzo de esta misma página y lo comprueben ellos mismos. Si no vale la cuenta de la vieja ni una demostración formal, pues tendrá que valer el caso práctico. Si no os fiais y sabéis programar lo podéis hacer vosotros mismos sin dibujitos ni nada, en modo texto simplemente, es realmente sencillo de implementar.
Es más, decidle a alguien que os escriba una secuencia de números del 1 al 3 suficientemente larga y aleatoria, y luego tratais de adivinar los números uno a uno, que para el caso es lo mismo. Decís un número, el que ha escrito la secuencia mira y simplemente te tiene que decir uno de los no elegidos que no sea el correcto (y puede que tenga una única opción para decir o que tenga que elegir uno de los dos que son incorrectos en caso de que hayas acertado). Si elegis cambiar SIEMPRE, sin excepciones, podréis evaluar los resultados obtenidos y reflexionar sobre ellos. Esto habría que hacerlo bien para que no condicione ni la cara del que conoce los números, ni el tiempo que tarda en responder, ni nada. Por eso recomendaría usar un ordenador y un programa simple hecho por vosotros, o utilizar el de esta página o cualquier otra similar.
Y en respuesta de lo último. Si el juego obliga a cambiar y hay un millón de puertas, el número de veces que ganaré tenderá a 999999 de cada millón, ya que sólo fallaré cuando haya tenido la remota suerte de acertar con la puerta del coche entre un millón para elegir. Cuanto más grande hagas el caso, más fácil me parece la explicación, y esto es la prueba.
Por otro lado, la probabilidad sería del 50% en este caso si eligieses el mismo número de veces cambiar y no cambiar, pero porque los aciertos de uno compensan los fallos del otro. Es decir, de 6 intentos cambias en 3 y no lo haces en los otros 3. Cambiando aciertas 2 veces de 3 y sin cambiar 1 de 3. Total, 3 de 6, queda compensado, pero no es la cuestión. La cuestión es que cada cosa por separado (cambiar o no cambiar) da como resultado unas probabilidades de acierto diferentes entre sí.
Pido disculpas por la extensión del mensaje, pero quería dejar clara mi postura desde varios puntos de vista.
Saludos!
El 2 de Abril de 2006 a las 13:28 #
Hay una pequeña errata bastante evidente:
Lo siguiente es incorrecto:
P(Cy,Lz)+P(Cz,Ly)= P(Cy).P(Lz/Cy) + P(Cz)-P(Ly/Cz)
En lugar de eso, lo último es obviamente un producto y no una resta. Lo correcto es:
P(Cy,Lz)+P(Cz,Ly)= P(Cy).P(Lz/Cy) + P(Cz).P(Ly/Cz)
Un pequeño lapsus. Saludos!
El 3 de Abril de 2006 a las 03:31 #
Te hago la siguiente pregunta, con el mejor animo por supuesto; sólo quiero la verdad: Imagina que el juego impone eliminar 999,998 puertas; la logica implica que la probabilidad en ellas es 0 de que sean premiadas. No puedes aplicar la misma lógica de probabilidad condicional.
Demostración : Es como decirte tienes 2 puertas en 1 hay premio (cada puerta tiene probabilidad 0.5): ahora tu elijes 1 puerta; y el conductor abre 1 puerta; ¿cual es la probabilidad de que tu tengas el premio? Si me dices que sigue siendo 0.5; pucha entonces habrá que perder la fé en el razonamiento humano amigo mío y yo soy un genio,lo que no creo.
Es evidente que la probabilidad es 1, lo que pasa es que las probabilidades varían según el conocimento del mundo. Dirias 0.5 segun las probabilidades tomasdas de forma mecánica y ahora que me entero segun el mismo razonamiento de esa sra del IQ mas alto del mundo; pero a veces la intuición es más poderosa que unas pruebas mecánicas de inteligencia (sabias que una maquina “saco” en IQ mas de 200 ).
Respecto a esos programas de simulación, es evidente que siguen el mismo grosero cálculo meramente mecánico de seguir con la misma probabilidad del estado incial del mundo, luego toman un nro lo validan con un rango y ya está; y por si no lo sabías; varias personalidades especialistas en matemáticas (obviamente yo no sé de sus propias demostraciones) han dicho que esa rpta esta equivocada; a pesar de la rpta esa respetable sra.
PD. Porfa si fueras mas conciso sería maravilloso, no sigas mi mal ejm.
El 3 de Abril de 2006 a las 05:00 #
Te voy citando entre comillas para contestar a todo:
“Imagina que el juego impone eliminar 999,998 puertas….”
Doy por hecho que hablamos de 1 millón de puertas. Pues bien, si dices que la probabilidad de que esas 999998 puertas sean premiadas pueden pasar 2 cosas. Una, que te equivoques, porque la probabilidad de que una puerta sea premiada es de 1 entre un millón, por algo es aleatorio. Otra, que estés partiendo de un caso particular en el que no son premiadas, por lo que estarías olvidando que la probabilidad es nula sólo si está condicionada al hecho de que el premio está en una de las dos restantes y, por tanto, estás olvidando 999998 del millón de casos equiprobables que pueden suceder.
“Es como decirte tienes 2 puertas en 1 hay premio (cada puerta tiene probabilidad 0.5): ahora tu elijes 1 puerta….”
Aquí creo que has corrido demasiado. Si tienes 2 puertas y eliges una, es evidente que tu probabilidad de acertar es del 50%. Si te abren una puerta, en ningún caso te van a dejar cambiar de puerta, por la sencilla razón de que siempre acertarías debido a que te han enseñado una de las dos. El ejemplo con mínimo número de puertas es 3, si pones 2 no se puede seguir la misma pauta, por lo que no tiene nada que ver. O no cuadra o simplemente no es extrapolable. Y tampoco es equivalente a cambiar o no cambiar de puerta, puesto que el matiz que se escapa a la intuición es el de la eliminación de una puerta mala condicionada a tu elección inicial. Todo gira alrededor de eso.
“Respecto a esos programas de simulación….”
Los programas de simulación no tienen en cuenta probabilidades de estados iniciales ni nada. Simplemente puedes generar números aleatorios 1, 2 ó 3 (escalando la generación de números entre 0 y 1, y truncando para desechar los decimales) . La aparición de cada uno es de 1/3, por eso son aleatorios. Bueno, si nos ponemos a precisar son pseudoaleatorios (aunque también tiende a 1/3 de todas maneras), pero puedes hacer depender la semilla de generación de secuencias con la hora de ejecución del programa para que sea más parecido a un caso totalmente aleatorio. Entonces tú eliges un número, el programa te quita un número equivocado que no hayas elegido, y te da la opción de cambiar o no. A ver qué obtienes cambiando siempre.
En definitiva, cambiando de puerta se acierta 2 de cada 3 veces, y llegarás a esa conclusión de todas las formas que se te ocurran:
- Por demostración formal.
- Viendo el árbol con todas las posibilidades, o sea, la famosa “cuenta de la vieja”. Y sabemos que la probabilidad es número de aciertos dividido por número total de casos.
- Simulando con un ordenador.
- Pidiendo ayuda a un amigo para que haga de “simulador” y se invente unos números.
- Consultando en sitios como wikipedia que incluyen la solución junto con el enunciado, y te lo justifican.
La gracia del problema es que la solución correcta (que reconozco que tardé en comprender, al principio pensaba como tú) va en contra de lo que dice la intuición. Pero si de todas las formas que intentes hacerlo te sale que son 2/3, y te recomiendo que lo verifiques por si no me crees, es que la intuición se equivoca. Por culpa de mi intuición también dije inicialmente que era el 50%. Somos humanos. Y justamente por eso al final acabamos viendo, tarde o temprano, esas pocas veces en las que la intuición lucha contra la corriente de la realidad. Por ejemplo, habrá quien diga que es físicamente imposible, sin ser daltónico, ver un rojo como si fuera otro color. Lo dice el instinto. Pero no es eso lo que dice el efecto Doppler, aunque sí es cierto que las velocidades necesarias son estratosféricas, pero eso es otro tema.
De verdad, demuéstralo de todas las formas que se te ocurra, simplemente hazlo, y no pongas en el proceso tu intuición, sé objetivo, y verás que aquella mujer tenía razón.
Saludos.
El 11 de Mayo de 2006 a las 15:35 #
la mejor estrategia es cambiar y tienes el doble de posibilidades de ganar, pues:
- si decides cambiar sólo perderías si inicialmente elegiste el premio. perderias on 1/3 y ganarías con 2/3
- si en cambio decides no cambiar las posibilidades de ganar son, obviamente, 1/3
El 12 de Mayo de 2006 a las 09:39 #
En este caso la historia del problema es irrelevante. El único problema que existe es “dos puertas y una de ellas es la buena” lo que se traduce en 1/2 de probabilidad.
También puedes plantearlo de otra forma: como sabes que va a eliminar un puerta mala, la elección inicial tiene la probabilidad de 1/2 de ser la correcta y no de 2/3.
Esto es probabilidad elemental, teorema de bayes de probabilidades condicionadas, y por más vueltas que se le dé con explicaciones filsóficas lo que hay es lo que hay.
El 18 de Mayo de 2006 a las 21:35 #
La probabilidad si cambias de puerta es de 2/3, mientras que si no lo haces, es de 1/3.
Aquí no vale la intuición, ni la regla del 50% de probabilidades!
Saludos
(Os recomiendo leer “El curioso incidente del perro a medianoche” de Mark Haddon)
El 7 de Junio de 2006 a las 18:28 #
Yo alucino como se puede engañar a la gente.
¿Aquí nadie ha estudiado probabilidad?
¿Nadie conoce el teorema de Bayes?
¿Nadie tiene sentido común?
En fin, la pseudociencia vende también, pero no deja de ser más que palabrería.
El 7 de Junio de 2006 a las 18:36 #
Para verlo como es en realidad
Puerta
1 2 3
Caso A m1 m2 c
Caso B m2 m1 c
Caso C m1 c m2
Caso D m2 c m1
Caso E c m1 m2
Caso F c m2 m1
Porque en este juego hay dos mulas.
Planteado correctamente sólo hay una solución 50%.
El 26 de Junio de 2006 a las 02:52 #
La respuesta correcta es la B, al principio tienes una probabilidad de 1/3 de acertar con la puerta que contiene el coche. El conjunto de las otras dos puertas tiene una probabilidad de 2/3 de tener el coche. Al descubrir una de esas dos, la probabilidad de la puerta que no se ha descubierto pasa a tener una probabilidad de 2/3, ya que la destapada pasa a tener 0 de probabilidad. Por ello es mejor cambiar tu elección.
El 9 de Julio de 2006 a las 00:54 #
Desde luego este problema va a revolucionar el mundo de la probabilidad. Resulta curioso que si planteas el problema con dos mulas y un coche se tenga más probabilidad de encontrar el coche que se se plantea con un coche una mula y una burra :-)
El 18 de Julio de 2006 a las 21:42 #
Me molesta la gente que discute si analizar. Muchos que niegan la solucion aqui no analizan todos los enunciados del problema y solo tratan de ver la solucion independizando los hechos.
Aqui se empieza por tres hechos fundamentales:
1-Tú eliges una puerta
2-Te eligen una puerta, que siempre es mala, diferente a la tuya
3-Siempre vas a cambiar de puerta
Si analizan el problema sin olvidar estos planteamientos entonces veran que la respuesta de acertar 2/3 es la correcta.
La explicación:
1: eliges una puerta que tiene 33% de que sea buena.
2: te eligen una puerta 100% mala, que no es la tuya, sea burra o mula como dijo pedrop, porque se trata de ganar o perder, buena o mala, 1 o 0, no de un carro, una burra y una mujer desnuda.
3: aqui esta la clave, siempre debes cambiar para que se realice logre el resultado, porque al cambiar veras que si tu puerta inicial tiene 1/3 de ser buena, la restante, dado que la elegida por el conductor ya no tiene posiblidad alguna de ser buena, queda con 2/3 de la probabilidad de serlo.
Mas claro ni el agua, señores matematicos.
yo soy ama de casa (sin que nadie se ofenda),
pero mi esposo es programador y ya una vez pasamos por esto
y él para demostrar que me equivocaba, me hizo un programa de simulación, que le “falló” en su contra.
Luego de cambiar de codigo, lenguaje de programacion, procesador, computadora, usando base de datos o generando archivos de millones de números, se convencio que la respuesta era correcta: 2/3.
El 4 de Agosto de 2006 a las 13:19 #
Hola!
me mola el problema, y parece obvio que la respuesta es que seimpre hay que cambiar (basta con simularlo). EL problema es que entiendo el razonamiento y los cálculos (también he hecho algo de probabilidad) pero tengo algunas dudas, que agredecería que me ayudarais a aclarar.
SUpongamos que hay un pequeño cambio en el juego, y aparece un jugador 2. este, entra en escena después de que el presentador abra una puerta con mula (0).
Este jugador (sin que lo vea el primero) tiene un 50% de probabilidades de ganar(1), puesto que puede escoger la misma puerta que el jugador 1 o la otra. Sin embargo el jugador 1 tiene más posibilidades de ganar ya que sus probabilidades estan 1|3 contra 2|3.
Cómo se justifica esto?
Gracias
El 27 de Agosto de 2006 a las 11:58 #
Elijo la C, ya que hay un 50% de probabilidades de que sea una de las dos(1 o 3)
El 15 de Septiembre de 2006 a las 11:42 #
Pues yo os dejo otra inquietud. Mi preocupación es la simetría.
Pongamos ya el coche fijo en una puerta, la 1 o la 2 da igual.
Supongamos que elijo la puerta 1 y el presentador abre la 3. Según la respuesta oficial, yo debo escoger la 2 y tengo 2/3 de probabilidad de acertar.
En cambio, supongamos que elijo la puerta 2 y el presentador abre la 3. Según la respuesta oficial, yo debo escoger la 1. Si no me da la gana de cambiarme y sigo empeñado en quedarme con la 2, tengo 1/3 de probabilidad de acertar. ¿No quedamos en que era 1/3 según el caso anterior?
¿No os parece raro? ¿Dónde me equivoco? Y conste que he hecho una simulación por ordenador y los resultados coinciden con la respuesta oficial, pero no lo entiendo.
Saludosssss.
El 16 de Septiembre de 2006 a las 19:20 #
la forma de acertar con seguridad es llevar una serie de las respuestas del presentador de concursos anteriores. Si en ellas, aceptando su sugerencia sale el coche y los últimos concursantes las aceptan, rechazer el ofrecimiento.
El 20 de Octubre de 2006 a las 22:51 #
Pues no le veo la gracia. En realidad lo que dices no es cierto pues en realidad, en el caso A te conviene cambiar, en el caso B YA te ubieras dado cuenta que no tienes posibilidades porque la puerta 2 contiene el coche y la acabas de abrir!!!!!! y en el caso C no te conviene. O sea, que tienes un 33% de posibilidades de cagarla, un 33% de no cagarla y un 33% de saber que ya la has cagado… si no cuentas la probabilidad de saber de antemano que la has cagado, en cuyo caso no abrirías más puertas, sólo te quedan la opción A y C y tienes entonces un 50% de no cagarla y un 50% de cagarla… o sea, lo que hemos pensado todos de antemano.
El 20 de Octubre de 2006 a las 23:00 #
vale, lo que yo no habia tenido en cuenta esque el presentador sabe donde está el coche jaja había supuesto que te abrían una al azar… voy a dormir un rato :P
El 2 de Noviembre de 2006 a las 20:02 #
No tengo ni idea…
siempre he oido que hay una mejor, pero sigo pensando que es es inutil porque… sea como sea, jamas puedes saber… al 50%
El 18 de Noviembre de 2006 a las 20:31 #
definitivamente el coche me voy a lo seguro no me voy a arriesgar porque porque si jijijii
El 22 de Noviembre de 2006 a las 02:51 #
Bueno creo que la opción c es la correcta!!
El 10 de Diciembre de 2006 a las 16:32 #
me quedo con la primera el presentador abrio la otra paraconfundirnos
El 24 de Diciembre de 2006 a las 19:29 #
Sería interesante reflexionar sobre el problema si suponemos que hay 100 puertas en cada uno de los cinco casos siguientes:
1º Según las reglas del concurso, al concursante no se le deja cambiar la elección inicial.
2º Al concursante se le permite cambiar su elección inicial y decide mantener su decisión inicial
3º Al concursante se le permite cambiar su elección inicial. El concursante decide echar a cara o cruz entre las dos puertas.
4º Al concursante se le permite cambiar su elección inicial. Decide cambiar.
5º Las reglas del concurso obligan al concursante a cambiar su elección inicial.
El 24 de Diciembre de 2006 a las 19:31 #
Mas cosas
El 24 de Diciembre de 2006 a las 19:33 #
Supongamos que el concursante decide echarlo a cara o cruz. Tiene dos puertas, una de las cuales tiene el premio. Por otra parte, lo que haya elegido antes parece irrelevante, pues ahora decide entre dos puertas iguales a cara o cruz. Por tanto, parece que la probabilidad es del 50 %.
Hay algo de intrigante en el problema.
El 29 de Diciembre de 2006 a las 23:13 #
parece que la discordia se fundamenta en la con o inconsecuencia del tiempo.
Si el ‘caso’ se considera desde ‘las tres cerradas’ o sea el inicio. O bien se considera como unidad independiente el caso con dos cerradas.
Si exceptuamos la experiencia, la lógica queda determinada por el instante base del análisis.
Pero todos sabemos que razonar es un ejercicio sobre un propósito que determina el resultado.
El 2 de Enero de 2007 a las 17:55 #
al parecer me quedo con la opción C
El 2 de Enero de 2007 a las 19:10 #
Me quede con la puerta que elegi inicialmente, es decir le numero 1, el animador quiere crear incertidumbre en mi para que no gane el premio.
El 2 de Enero de 2007 a las 19:14 #
Buena aplicacion de la teoria de probabilidades.
El 8 de Enero de 2007 a las 20:28 #
A ver, no le deis mas vueltas y no habéis en plan.. pues yo creo.., NO.
La solución correcta es cambiar, con un 66% de probabilidad de acertar, si te quedas la que tienes, sólo tienes un 33%. Y paso de explicarlo porque ya se ha explicado al principio de todo. Todo aquel que intente dar una demostración matemática, nombrando incluso el teorema de bayes, etc, y llegue a la solución de 50%, siento decirle que no tiene ni idea de probabilidad ni de lógica.
El 9 de Febrero de 2007 a las 19:36 #
es un razonamiento bastante convencional al principio no le entendi mucho….
El 24 de Febrero de 2007 a las 23:32 #
A pesar de todas las indicaciones correctas estadísticamente hablando, debemos considerar sin duda el grado de empatía que logra el concursante con el presentador. Hasta ahora no se han mostrado datos que indiquen si en el total de concursos las elecciones de los concursantes finalmente arrojaron la relación 2/3, y es muy probable que no, por el elemento empatia. Es una manera perversa de mostrar que las estadísticas muchas veces nos hacen perder el sentido común.
El 1 de Marzo de 2007 a las 23:25 #
Bueno, al grano. Soy profesor universitario de estadística y esto que se plantea no es una paradoja, es lo que se llama FALACIA.
No me voy a poner a explicarlo, ya lo han hecho antes muchos.
Tu probabilidad inicial de acertar es 1/3 (3 puertas).
El “truco” es decir que como te abren una puerta tu probabilidad al cambiar pasa a 2/3. Pues NO.Lo que se plantea entonces es un nuevo problema (2 elementos).
El simulador se basa en esta falacia y por tanto “parece” que la demuestra, pero esto es como decir que el colacao es bueno porque sale anunciado en TV. Una bobada.
El 19 de Abril de 2007 a las 12:12 #
Ya conocia el problema, pero aun asi, no estoy del todo deacuerdo. Por ke, en realidad, a mi parecer, si tienes tres puertas y te va a abrir una, al fina es como si solo tubieras dos. Yo, personalmente e exo la prueba de arriba en ocasiones diferentes en las ke coguia la puerta 1 y la mantenia. Resultado: de 16 intento 8 aciertos, es decir, el 50%. Seguiria haciendo, pero estoy en medio del curro… XD
El 25 de Abril de 2007 a las 00:08 #
A.
El 29 de Abril de 2007 a las 12:31 #
mmm B cambiar: asi tiens un 66% d posibilidades en una
El 9 de Mayo de 2007 a las 05:40 #
A
El 16 de Mayo de 2007 a las 18:39 #
HOLA, SI HACES LOS CURSOS GRATUITOS QUE HAY EN LA WEB www.cursoconducir.com VERAS QUE LA TEÓRICA ES MUY FÁCIL Y APROBARÁS SIN PROBLEMAS. ESTÁN TOTALMENTE ACTUALIZADOS AL NUEVO EXAMEN DE TREINTA PREGUNTAS. ADEMÁS SON MUY RECOMENDABLES PARA LOS QUE QUIERAN ACTUALIZAR SUS CONOCIMIENTOS.
El 17 de Mayo de 2007 a las 10:47 #
hola javi!estamos leyendo el libro del curioso incidente del perro a medianoche y en el aparece lo de las puertas.por eso hemos entrado en tu página venga.
susana
El 17 de Mayo de 2007 a las 10:51 #
hola javi.estamos leyendo el curioso incidente a media noche.NOS LO HEMOS PASADO MUY BIEN CON el juego de las puertas.pues bueno que te valla todo bien.un besazo muy fuerte
El 17 de Mayo de 2007 a las 10:52 #
Hola Javi:
Nos la hemos pasado muy bien con tus puertas ,somos de la clase del epa y estamos lellendo el libro del Curioso Incidente del Perro a Mediacnoche por ello es que estamos viendo este curioso juego,veo que sabes mucho de matemáticas y estoy bien gracias y que te valla bien Adios
El 17 de Mayo de 2007 a las 10:55 #
javi gracias por mostrarnos el probrema matematico de esta forma se que cambiando de puerta tengo mas posibilidades de ganar el coche
El 17 de Mayo de 2007 a las 10:57 #
Hola Javi
Me llamo Mª Cruz, estoy leyendo el libro :
El curioso incidente del perro a medianoche.
Estoy practicando con el concurso de las puertas
y la verdad que acierto más cuando cambio de puerta.
Un saludo
Mª Cruz
El 20 de Mayo de 2007 a las 12:03 #
yo he acertado siempre que no cambio de puerta !!!
llevo muchos años dejandome llevar por que la “primera impresión es la que cuenta ” en todos los aspectos de mi vida y la verdad que me va muy bien
Cuando por algún motivo he cambiado de opinión al final siempre me arrepiento, asi que procuro ¡ no cambiar !
El 20 de Mayo de 2007 a las 14:31 #
Me quedo con la mia, la puerta numero 1.
El 20 de Mayo de 2007 a las 14:36 #
Y…. pierdo :( jo
El 23 de Mayo de 2007 a las 12:53 #
5
El 27 de Mayo de 2007 a las 20:41 #
Excelente juego….
El 2 de Junio de 2007 a las 04:00 #
la C, porque me daria mucha curiosidad saber que hay
El 2 de Junio de 2007 a las 04:03 #
no perdon la b
El 3 de Junio de 2007 a las 01:06 #
bueno en realidad queria ver si el monstruito se comia un gatito y agradecerte el ejemplo practico, hay gente que no lo entiende y asi es más faácil hacerselo ver.
El 7 de Junio de 2007 a las 21:39 #
A pesar de que las probabilidades en si no pueden predecir “el futuro” pareceria que si un punto en el… un punto en donde se une el presente con lo predecido.
El 24 de Junio de 2007 a las 23:53 #
he venido a jugar!!!!! seguiría con la misma a muerte.
El 6 de Julio de 2007 a las 02:21 #
escojo A
El 6 de Julio de 2007 a las 11:10 #
joeee k wenoo! weno personalmente yo eleji la C y en el concurso acerte jeje.pero esa no es la cuestion, la verdad no e leido mucho de esto y de lo k he leido me he enterado de la mitad xD pero de todas formas ALUCINO con algunas personas que ponen comentarios aki. Asi k felicito a:
BILLY Y JORGE!!
a mi me resultaria MUUUUUY.. dificil calcular todo eso y deducir asi jeje asi k mUxAs FeLiCiDaDeSs!¡!¡
xaooo